Investigación Operativa · UADER
Cómo la recta de nivel se desliza —siempre paralela a sí misma— en la dirección del gradiente hasta tocar el óptimo.
Pensá en un mapa topográfico: las rectas de nivel son las curvas de igual altura (igual beneficio Z). El gradiente apunta "cuesta arriba", perpendicular a esas curvas. Resolver el problema es empujar la recta de nivel todo lo cuesta arriba posible sin salirte de la región factible.
Tocá Reproducir o arrastrá el deslizador. Mirá cómo la recta celeste se mueve paralela a las grises punteadas, siempre en el sentido de la flecha naranja.
La pieza que cuesta imaginar.
Para una función Z = 30·X₁ + 10·X₂, el gradiente es el vector de derivadas parciales:
∇Z = ( ∂Z/∂X₁ , ∂Z/∂X₂ ) = ( 30 , 10 )
Tiene dos propiedades clave, y son todo lo que necesitás:
Y un detalle cómodo: como la FO es lineal, el gradiente es el mismo en todos los puntos (siempre (30,10)). No cambia de dirección nunca.
Tal cual lo plantea la guía de la cátedra.
Le das un valor arbitrario a Z (la guía usa Z = 300) y graficás 30·X₁ + 10·X₂ = 300. Es una recta como cualquier otra de la familia.
El vector (30, 10). Te marca hacia dónde "empujar".
Subís Z y la recta avanza. Vas barriendo la región factible. La última recta que todavía toca la región te da el óptimo: acá, el vértice (32.5, 15) con Z = 1125.
Mientras la recta cruza la región, podés seguir empujándola "cuesta arriba": hay puntos factibles con más Z. Eso recién se termina cuando la recta queda apoyada tocando la región en un solo punto que no podés pasar. En un polígono, ese último punto de contacto es —salvo el caso de un empate sobre toda una arista— un vértice.
De ahí las tres conclusiones del análisis gráfico: la solución óptima siempre está en un vértice, los vértices son finitos, y por eso basta con revisar vértices (lo que después automatiza el Simplex).
El ejemplo de los cultivos (agua, tierra, capital).