Acá tenés la parte B de la unidad 3 pensada para alguien que arranca desde cero. Las consignas están puestas como capturas de la guía para que queden literales. Debajo de cada una aparece el paso a paso real de resolución, con mini recordatorios teóricos justo en el momento en que hacen falta.
En esta parte ya no hay una sola variable aleatoria. Ahora trabajamos con dos al mismo tiempo: X e Y. Eso obliga a pensar no sólo en probabilidades puntuales, sino también en tablas o funciones conjuntas, marginales, condicionales y en la pregunta clave: si una variable cambia, la otra se ve afectada o no.
Si la variable es discreta, casi todo se hace sumando celdas de una tabla. Si la variable es continua, casi todo se hace integrando sobre una región. Esa sola decisión te ordena la mitad del ejercicio.
Discreta: P(evento) = suma de f(x,y) en las celdas válidas
Continua: P(evento) = ∬ f(x,y) dA sobre la región válida
La teoría está resumida acá, pero después vuelve a aparecer adentro de los ejercicios.
Es la forma de describir el comportamiento de dos variables a la vez. Si es discreta, aparece como tabla o fórmula puntual f(x,y). Si es continua, aparece como densidad conjunta y las probabilidades salen integrando sobre regiones.
Una marginal es “mirar una variable olvidándote de la otra”. En discreta: sumás filas o columnas. En continua: integrás respecto de la otra variable.
g(x) = Σ f(x,y) o g(x) = ∫ f(x,y) dy
h(y) = Σ f(x,y) o h(y) = ∫ f(x,y) dx
Cuando te dicen “dado que”, el problema te obliga a quedarte dentro de una franja fija. Si te fijan X = x, trabajás con la distribución condicional de Y dada esa X.
f(y|x) = f(x,y) / g(x)
f(x|y) = f(x,y) / h(y)
Dos variables son independientes si conocer una no cambia el comportamiento de la otra. La condición práctica más usada es:
f(x,y) = g(x) · h(y)
Si esa igualdad no se cumple, entonces son dependientes.
Idea central: completar la tabla, normalizar y recién después contestar lo demás.
Transcripción OCR de la consigna
1) La función de distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias X e Y está dada por:
f(x,y) = { c.(2x + y) si x = 0,1,2 ; y = 0,1,2,3
0 c.o.c. }a) Halle el valor de la constante c, completando previamente la siguiente tabla.
| X \ Y | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | ||||
| 1 | ||||
| 2 |
b) Halle las distribuciones marginales y P(X ≤ 2,5).
c) Calcule P(X = 2 ; Y = 1).
d) Calcule P(X ≥ 1 ; Y ≤ 2).
Como X y Y toman valores sueltos (x = 0,1,2 y y = 0,1,2,3), estamos en el caso discreto. Eso significa que las probabilidades se calculan sumando celdas, no integrando.
| y \ x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0c | 2c | 4c |
| 1 | 1c | 3c | 5c |
| 2 | 2c | 4c | 6c |
| 3 | 3c | 5c | 7c |
0c + 2c + 4c + 1c + 3c + 5c + 2c + 4c + 6c + 3c + 5c + 7c = 42c42c = 1 ⇒ c = 1/42
g(0) = (0+1+2+3)c = 6c = 6/42 = 1/7
g(1) = (2+3+4+5)c = 14c = 14/42 = 1/3
g(2) = (4+5+6+7)c = 22c = 22/42 = 11/21
h(0) = (0+2+4)c = 6c = 1/7
h(1) = (1+3+5)c = 9c = 3/14
h(2) = (2+4+6)c = 12c = 2/7
h(3) = (3+5+7)c = 15c = 5/14
P(X ≤ 2,5) = g(0) + g(1) + g(2) = 1f(2,1) = c(2·2 + 1) = 5c = 5/42(2+3+4+4+5+6)c = 24c = 24/42 = 4/7Idea central: en continua, la “suma total” se reemplaza por una integral doble.
Transcripción OCR de la consigna
2) Un supermercado del barrio dispone de dos cajas para sus clientes. En un día cualquiera, sea X la proporción del tiempo que la caja rápida está funcionando (por lo menos un cliente es atendido o espera por serlo) e Y la proporción del tiempo en que la caja normal está funcionando. Suponga que la función de densidad de probabilidad conjunta de las proporciones del tiempo de funcionamiento en ambas cajas está dado por:
f(x,y) = { k(x² + y²) con 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 1
0 en c.o.c. }a) Encuentre el valor de la constante k para verificar que f es una función de densidad de probabilidad conjunta. Represente la región donde está definida f.
b) ¿Son independientes las variables aleatorias X e Y?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la caja normal esté ocupada menos de la mitad del tiempo?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la caja normal esté funcionando más de 45 minutos dado que la caja rápida funciona sólo 30 minutos?
Si la función es continua, primero revisamos la región donde vale y después imponemos que ∬ f(x,y) dx dy = 1. Esa es la versión continua de “la suma de todas las probabilidades da 1”.
∫[0,1] ∫[0,1] k(x² + y²) dy dx = 1∫[0,1] k(x²y + y³/3)|₀¹ dx = ∫[0,1] k(x² + 1/3) dxk ∫[0,1] (x² + 1/3) dx = k(1/3 + 1/3) = 2k/32k/3 = 1 ⇒ k = 3/2
g(x) = ∫[0,1] (3/2)(x² + y²) dy = (3/2)(x² + 1/3)
h(y) = ∫[0,1] (3/2)(x² + y²) dx = (3/2)(1/3 + y²)
g(x)h(y) = (3/2)(x² + 1/3) · (3/2)(1/3 + y²)h(y) = (3/2)(1/3 + y²) = 1/2 + 3y²/2P(Y < 0,5) = ∫[0,0.5] (1/2 + 3y²/2) dy = [y/2 + y³/2]₀^{0.5} = 1/4 + 1/16 = 5/16f(y|x=0,5) = f(0,5,y) / g(0,5)g(0,5) = (3/2)(0,25 + 1/3) = 7/8f(y|0,5) = [(3/2)(0,25 + y²)] / (7/8) = (6/7)(1/4 + y²)P(Y > 0,75 | X = 0,5) = ∫[0.75,1] (6/7)(1/4 + y²) dy = 7/32Idea central: separar siempre “qué celda necesito”, “qué fila/columna necesito” y “qué acumulado necesito”.
Transcripción OCR de la consigna
3) Dos líneas de producción fabrican cierto tipo de artículo. Supóngase que la capacidad productiva (en cualquier día dado) es de 5 artículos para la línea I y 3 artículos para la línea II. Además, el número verdadero de artículos producidos por cada una de las líneas de producción es una variable aleatoria (X,Y) que registra el número de artículos producidos por la línea I y la línea II, respectivamente. La siguiente tabla brinda la distribución de probabilidad conjunta de (X,Y).
| Y \ X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0,01 | 0,03 | 0,05 | 0,07 | 0,09 |
| 1 | 0,01 | 0,02 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,08 |
| 2 | 0,01 | 0,03 | 0,05 | 0,05 | 0,05 | 0,06 |
| 3 | 0,01 | 0,02 | 0,04 | 0,06 | 0,06 | 0,05 |
a) Calcule la probabilidad de que la línea I produzca 2 artículos y la línea II produzca 3 artículos.
b) Calcule la probabilidad que la cantidad de artículos producidos por la línea II sea mayor a la cantidad producida por la línea I.
c) Encuentre las funciones de distribución marginal de las variables aleatorias X y Y. ¿Son independientes? Justifique.
d) Calcule las probabilidades marginales: (d.1) Cuando la cantidad de artículos producidos por la línea I es igual a 2. (d.2) Cuando la cantidad de artículos producidos por la línea II es igual a 0.
e) Determine las distribuciones de probabilidades marginales acumuladas G(x) y H(y).
P(Y > X) = f(0,1) + f(0,2) + f(0,3) + f(1,2) + f(1,3) + f(2,3)0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,03 + 0,02 + 0,04 = 0,12
g(0)=0,03 g(1)=0,08 g(2)=0,16 g(3)=0,21 g(4)=0,24 g(5)=0,28
h(0)=0,25 h(1)=0,26 h(2)=0,25 h(3)=0,24f(0,0)=0 pero g(0)h(0)=0,03·0,25=0,0075
G(x)=0 si x<0
G(x)=0,03 si 0≤x<1
G(x)=0,11 si 1≤x<2
G(x)=0,27 si 2≤x<3
G(x)=0,48 si 3≤x<4
G(x)=0,72 si 4≤x<5
G(x)=1 si x≥5
H(y)=0 si y<0
H(y)=0,25 si 0≤y<1
H(y)=0,51 si 1≤y<2
H(y)=0,76 si 2≤y<3
H(y)=1 si y≥3
Idea central: primero visualizar el rectángulo de trabajo y después integrar.
Transcripción OCR de la consigna
4) Considere la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X e Y:
f(x,y) = { (3x - y) / 9 con 1 < x < 3 , 1 < y < 2
0 en c.o.c. }a) Represente la región donde está definida f.
b) Encuentre las distribuciones marginales de X e Y.
c) ¿Son independientes las variables aleatorias X e Y?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que Y sea mayor a 1.5? ¿Cuál es la probabilidad de que X sea menor a 2? Emplee los resultados del inciso b.
e) Calcule P(X > 2|Y = 1).
g(x)=∫[1,2] (3x-y)/9 dy = (1/9)(3x - 3/2)h(y)=∫[1,3] (3x-y)/9 dx = (12 - 2y)/9P(Y>1,5)=∫[1.5,2] (12-2y)/9 dy = 17/36P(X<2)=∫[1,2] (1/9)(3x - 3/2) dx = 1/3En la captura original este inciso está tachado. Lo resuelvo igual como práctica extra, pero no lo tomaría como prioritario si tu docente realmente lo anuló.
h(1) = (12 - 2·1)/9 = 10/9f(x|1) = [(3x-1)/9] / (10/9) = (3x-1)/10P(X>2|Y=1)=∫[2,3] (3x-1)/10 dx = 13/20Idea central: la parte difícil es normalizar bien; después casi todo sale mecánicamente.
Transcripción OCR de la consigna
5) Los contenidos de magnesio y vitamina A incorporados a un cierto suplemento dietario son variables aleatorias X e Y cuya función de densidad de probabilidad conjunta f(x,y) = c(xy + 2) con 1 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 2, ambas en microgramos (μg).
a) Represente la región RXY donde está definida f. Obtenga el valor de la constante c.
b) Determine las funciones marginales de probabilidad de las variables. ¿Son independientes X y Y? Justifique.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido de magnesio en el suplemento sea de más de 2 microgramos y el de vitamina A menor a 1 microgramos?
d) Halle P(X>3). Interprete en el contexto del problema.
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el suplemento dietario contenga a lo sumo 2 miligramos de magnesio, dado que contiene 1 mg de vitamina A?
∫[1,4] ∫[0,2] c(xy+2) dy dx = 1∫[0,2] (xy+2) dy = 2x + 4c ∫[1,4] (2x+4) dx = c[x²+4x]₁⁴ = 27c = 1c = 1/27
g(x)=∫[0,2] (1/27)(xy+2) dy = (2x+4)/27
h(y)=∫[1,4] (1/27)(xy+2) dx = (15y/2 + 6)/27
P(X>2,Y<1)=∫[2,4] ∫[0,1] (1/27)(xy+2) dy dx = 7/27P(X>3)=∫[3,4] (2x+4)/27 dx = 11/27f(x|1)=f(x,1)/h(1)h(1) = (15/2 + 6)/27 = 1/2f(x|1)= [(x+2)/27] / (1/2) = 2(x+2)/27P(X≤2|Y=1)=∫[1,2] 2(x+2)/27 dx = 7/27Idea central: cuando aparece una constante multiplicando toda la tabla, primero se halla esa constante y después se lee todo lo demás.
Transcripción OCR de la consigna
6) Una empresa metalúrgica posee dos fábricas ubicadas en dos ciudades. Interesa estudiar los números de accidentes laborales en un mes que ocurren en las fábricas de Paraná y Rosario, dados por X e Y, respectivamente. Su distribución de probabilidades está en la siguiente tabla.
| f(x,y) | X | |||
|---|---|---|---|---|
| Y | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 3 | 0 | 3c | c | 3c |
| 4 | 6c | 0 | 2c | 2c |
| 5 | 5c | 8c | 3c | 3c |
a) Determine el valor de la constante c.
b) Determine las distribuciones marginales de probabilidad.
c) ¿Son independientes las variables X e Y? Justifique.
d) Encuentre la distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria Y.
e) Calcule la probabilidad de que:
e.1) el número de accidentes laborales en Rosario supere al de Paraná, en un mes.
e.2) en Paraná ocurran más de 4 accidentes laborales en la fábrica, en un mes.
36c = 1 ⇒ c = 1/36g(2)=11/36, g(4)=11/36, g(6)=6/36, g(8)=8/36h(3)=7/36, h(4)=10/36, h(5)=19/36f(2,3)=0 pero g(2)h(3)= (11/36)(7/36) ≠ 0
H(y)=0 si y<3
H(y)=7/36 si 3≤y<4
H(y)=17/36 si 4≤y<5
H(y)=1 si y≥5
6c + 5c + 8c = 19c = 19/36P(X>4)=g(6)+g(8)=6/36 + 8/36 = 14/36 = 7/18Idea central: una región da probabilidad positiva; un punto exacto no.
Transcripción OCR de la consigna
7) Los tiempos de control de calidad y envasado de un artículo en una fábrica, dados en minutos, son representados por las variables aleatorias X y Y, respectivamente, siendo f(x,y) = (1/84)(2x + y) con 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 2 la función de probabilidad conjunta de las mismas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el control de calidad de un artículo tome menos de cinco minutos y el envasado más de un minuto?
b) Determine las densidades marginales de las variables aleatorias X y Y. ¿Son independientes? Justifique.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el control de calidad tarde exactamente dos minutos?
P(X<5,Y>1)=∫[0,5] ∫[1,2] (2x+y)/84 dy dx(1/84)∫[0,5] (2x + 3/2) dx = (1/84)(25 + 15/2) = 65/168
g(x)=∫[0,2] (2x+y)/84 dy = (4x+2)/84 = (2x+1)/42
h(y)=∫[0,6] (2x+y)/84 dx = (36+6y)/84 = (6+y)/14
Si una variable es continua, la probabilidad de un valor exacto es siempre cero. No hace falta integrar ni hacer cuentas largas.
P(X = 2) = 0Idea central: distinguir bien entre “no ganar” y “no perder”. No significan lo mismo.
Transcripción OCR de la consigna
8) Considere las variables aleatorias X e Y donde X es la cantidad de dinero invertido en la compra de unas acciones particulares e Y es la ganancia obtenida por dicha inversión, ambas en miles de dólares. La distribución de probabilidad conjunta está dada por:
| f(x,y) | Y | ||
|---|---|---|---|
| X | -1 | 0 | 1 |
| 1 | (1/2)c | (1/4)c | (1/4)c |
| 2 | (1/4)c | (3/4)c | c |
a) Halle el valor de c.
b) ¿Cuál es la probabilidad de invertir dos mil dólares y no ganar dinero?
c) Determine las distribuciones marginales de probabilidad. ¿Son independientes estas variables? Justifique.
d) Calcule la probabilidad de no perder dinero en esta transacción.
(1/2 + 1/4 + 1/4)c + (1/4 + 3/4 + 1)c = c + 2c = 3c3c = 1 ⇒ c = 1/3(3/4)c = (3/4)(1/3) = 1/4g(1)=1/3, g(2)=2/3h(-1)=1/4, h(0)=1/3, h(1)=5/12f(1,-1)=1/6 pero g(1)h(-1)=1/12P(Y≥0)=h(0)+h(1)=1/3 + 5/12 = 3/4Idea central: otra vez aparece el patrón “marginales + evento rectangular”. Si este te sale, ya estás bastante firme.
Transcripción OCR de la consigna
9) Los contenidos de aluminio y cobre que se incorporan en una aleación son dos variables aleatorias X y Y, respectivamente, cuya función de densidad conjunta es f(x,y) = (2xy - 1)/324 siendo 2 ≤ x ≤ 6; 2 ≤ y ≤ 5; ambas en miligramos.
a) Determine las funciones de densidad marginales para ambas variables aleatorias. ¿Son independientes los contenidos de aluminio y cobre que se incorporan? Justifique.
b) Encuentre la probabilidad de que en una aleación se incorporen al menos 3 gramos de aluminio.
c) Calcule P(X<4; Y>4). Interprete esta probabilidad en el contexto del problema.
g(x)=∫[2,5] (2xy-1)/324 dy = (21x - 3)/324h(y)=∫[2,6] (2xy-1)/324 dx = (32y - 4)/324P(X≥3)=∫[3,6] (21x-3)/324 dx = 61/72P(X<4,Y>4)=∫[2,4] ∫[4,5] (2xy-1)/324 dy dx(1/324)∫[2,4] (9x-1) dx = 13/81Si mañana ves un ejercicio nuevo de esta parte, este es el orden que conviene seguir.